Minimind/ceval/ceval-exam/dev/probability_and_statistics_dev.csv

1	id	question	A	B	C	D	answer	explanation
2	0	设随机变量$(X,Y)$的联合密度函数是:$f(x,y)=\left\{\begin{array}{c}ke^{-x-2y},x>0,y>0\\0,\text{其他}\end{array}\right.$则$P(0\leq X\leq2,0\leq Y\leq1)=$____	$\left(1-e^{-4}\right)^{2}$	$\left(1-e^{-8}\right)^{2}$	$\left(1-e^{-2}\right)^{2}$	$\left(1-e^{-6}\right)^{2}$	C	1. 首先，我们需要找到常数k。为了使f(x, y)成为一个有效的联合密度函数，我们需要满足$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=1$。由于f(x, y)在x>0和y>0的区域内为非零值，我们可以将积分限改为$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}ke^{-x-2y}dxdy=1$。 2. 计算积分，得到$k\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-x-2y}dxdy=k\int_{0}^{\infty}(-e^{-x-2y}|_{x=0}^{x=\infty})dy=k\int_{0}^{\infty}e^{-2y}dy=k(-\frac{1}{2}e^{-2y}|_{y=0}^{y=\infty})=k\frac{1}{2}=1$。解得$k=2$。 3. 现在我们已经知道联合密度函数$f(x,y)=\left\{\begin{array}{c}2e^{-x-2y},x>0,y>0\\0,\text{其他}\end{array}\right.$。接下来，我们需要计算$P(0\leq X\leq2,0\leq Y\leq1)$，即在给定范围内的联合密度函数的积分：$P(0\leq X\leq2,0\leq Y\leq1)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}2e^{-x-2y}dxdy$。 4. 计算积分，得到$P(0\leq X\leq2,0\leq Y\leq1)=\int_{0}^{1}(-e^{-x-2y}|_{x=0}^{x=2})dy=\int_{0}^{1}(e^{-2y}-e^{-2-2y})dy=(-\frac{1}{2}e^{-2y}|_{y=0}^{y=1})+\frac{1}{2}(e^{-2-2y}|_{y=0}^{y=1})=(1-e^{-2})^2$。
3	1	设$X\sim N\left(\mu,\sigma^2\right),\sigma$已知,则$\mu$的置信度为0.95的置信区间是____	$\left(\bar{X} \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{0.025}\right)$	$\left(\bar{X} \pm \frac{s}{\sqrt{n}} u_{0.025}\right)$	$\left(\bar{X} \pm \frac{s}{\sqrt{n}} t_{0.025}(n-1)\right)$	$\left(\bar{X} \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}} t_{0.025}(n-1)\right)$	A	1. 首先，我们需要知道正态分布的均值μ的置信区间计算方法。当总体方差σ2已知时，我们使用Z分数（即标准正态分布的分位数）来计算置信区间；当总体方差σ2未知时，我们使用t分数（即t分布的分位数）来计算置信区间。 2. 题目中给出X服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，且σ已知，因此我们需要使用Z分数来计算置信区间。置信度为0.95，即两侧的α/2 = 0.025，对应的Z分数为$u_{0.025}$。 3. 根据正态分布均值μ的置信区间计算公式，我们有：$\left(\bar{X} \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{0.025}\right)$，其中$\bar{X}$表示样本均值，n表示样本容量。
4	2	独立地测量一个物理量,记每次测量的结果为$X=\mu+\varepsilon$,其中$\mu$是物理量的真值,$\varepsilon$是测量产生的随机误差,且已知每次测量产生的随机误差都服从$(-1,1)$上的均匀分布,如果取$n$次测量结果的算术平均值$\bar{X}=\frac{1}{64}\sum_{i=1}^{64}X_i$作为真值$\mu$的近似值,用切比雪夫不等式估计$|\bar{X}-\mu|<\frac{1}{8}$的概率的结果:____	不超过 $\frac{2}{3}$	不小于 $\frac{1}{3}$	不小于 $\frac{2}{3}$	不超过 $\frac{1}{3}$	C	1. 首先，我们需要知道切比雪夫不等式：对于任意随机变量X，其期望为μ，方差为σ^2，那么对于任意正数k，有$P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k^2}$。 2. 其次，我们需要计算随机误差$\varepsilon$的期望和方差。由题意知，$\varepsilon$服从$(-1,1)$上的均匀分布，其期望$E(\varepsilon)=0$，方差$Var(\varepsilon)=\frac{2^2}{12}=\frac{1}{3}$。 3. 接着，我们计算$\bar{X}$的期望和方差。由于每次测量都是独立的，所以$E(\bar{X})=E(\frac{1}{64}\sum_{i=1}^{64}X_i)=\mu$，$Var(\bar{X})=Var(\frac{1}{64}\sum_{i=1}^{64}X_i)=\frac{1}{64^2}\sum_{i=1}^{64}Var(X_i)=\frac{1}{64}\cdot\frac{1}{3}$。 4. 最后，我们利用切比雪夫不等式估计$P(|\bar{X}-\mu|<\frac{1}{8})$。由切比雪夫不等式，我们有$P(|\bar{X}-\mu|\geq \frac{1}{8})\leq \frac{Var(\bar{X})}{(\frac{1}{8})^2}=\frac{\frac{1}{64}\cdot\frac{1}{3}}{(\frac{1}{8})^2}=\frac{1}{3}$。所以，$P(|\bar{X}-\mu|<\frac{1}{8})\geq 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。 因此，$|\bar{X}-\mu|<\frac{1}{8}$的概率不小于$\frac{2}{3}$，答案是C。
5	3	设总体$X\sim N\left(\mu，\sigma^2\right)，\sigma^2$已知，给定样本$X_1，X_2，\ldots，X_n$，对总体均值$\mu$进行检验，令$H_0:\mu=\mu_0，H_1:\mu\neq\mu_0$，则____	若显著性水平 $\alpha=0.05$ 下拒绝 $H_0$ ，则 $\alpha=0.01$ 下必拒绝 $H_0$.	若显著性水平 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$ ，则 $\alpha=0.01$ 下必拒绝 $H_0$	若显著性水平 $\alpha=0.05$ 下拒绝 $H_0$ ，则 $\alpha=0.01$ 下接受 $H_0$	若显著性水平$\alpha=0.05$下接受 $H_0$ ，则 $\alpha=0.01$ 下也接受$H_0$	D	1. 首先，显著性水平α是用来衡量拒绝原假设的风险程度，即当原假设实际上是正确的情况下，我们错误地拒绝原假设的概率。显著性水平越小，我们拒绝原假设的标准就越严格。 2. 接着，我们分析选项：(A) 若显著性水平α=0.05下拒绝H0，则α=0.01下必拒绝H0。这个选项是错误的，因为当显著性水平变小时，拒绝原假设的标准变得更严格，所以不能得出这个结论；(B) 若显著性水平α=0.05下接受H0，则α=0.01下必拒绝H0。这个选项也是错误的，因为当显著性水平变小时，拒绝原假设的标准变得更严格，但不能得出必然拒绝H0的结论；(C) 若显著性水平α=0.05下拒绝H0，则α=0.01下接受H0。这个选项是错误的，因为当显著性水平变小时，拒绝原假设的标准变得更严格，所以不能得出这个结论；(D) 若显著性水平α=0.05下接受H0，则α=0.01下也接受H0。这个选项是正确的，因为当显著性水平变小时，拒绝原假设的标准变得更严格，如果在较高的显著性水平下接受原假设，那么在较低的显著性水平下也应该接受原假设。
6	4	设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度函数为:$f(x,y)=\left\{\begin{array}{lc}a(x+y),&0<x<2,0<y<1\\0,&\text{其他}\end{array}\right.$,则常数$a=$____	$\frac{1}{3}$	2	3	$\frac{1}{2}$	A	1. 首先，对于二维随机变量$(X,Y)$，其概率密度函数$f(x,y)$需满足归一性，即$\iint_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dx \, dy = 1$。 2. 其次，我们需要计算概率密度函数在定义域内的二重积分。根据题目给定的定义域，我们有：$\iint_{0}^{2}\iint_{0}^{1} a(x+y) \, dy \, dx$。 3. 接着，我们计算二重积分。首先对y积分，得到$\int_{0}^{1} a(x+y) \, dy = a[x + \frac{1}{2}(y^2)]_{0}^{1} = a(x + \frac{1}{2})$。然后对x积分，得到$\int_{0}^{2} a(x + \frac{1}{2}) \, dx = a[\frac{1}{2}(x^2 + x)]_{0}^{2} = 3a$。 4. 最后，根据归一性，我们有$3a = 1$，解得常数$a = \frac{1}{3}$。